对流扩散反应方程

以一维稳态的对流反应扩散方程为例，我们一起来看一下如何使用 FEtch 系统快速地求解偏微分方程问题。

问题描述

定义在区间 $[0,L]$ 上的函数 $u(x)$，满足如下稳态的对流扩散反应方程 $\frac{\partial}{\partial x}\left(U_{x} u\right)=\frac{\partial}{\partial x}\left(D \frac{\partial u}{\partial x}\right)+S_{c}$

和边界条件 $u(0)=0\\ u(L)=1$ 该问题的解析解为 $u=\frac{S_{c} x}{U_{x}}+\left(1-\frac{S_{c} L}{U_{x}}\right) \frac{1-\exp \left(U_{x} \cdot x / D\right)}{1-\exp \left(U_{x} \cdot L / D\right)}$

取 $L=10$，$U_{x}=1$，$D=1$，$S_{c}=0.05$ ，求函数 $u(x)$ 的有限元解。

脚本文件

这是一个比较简单的单物理场问题。用有限元语言表述，只需要填写 4 种类型的文件，即 PDE、NFE、GCN 和 MDI 文件。

PDE 文件 (condiff.pde)，用于描述微分方程的弱形式。在有限元理论框架中，对应于单元矩阵的计算，是整个程序中最核心的部分。

defi
disp u
coor x
shap %1 %2
gaus %3
mate eux ed esc 1.0 1.0 0.05

stif
dist = +[u/x;u]*eux+[u/x;u/x]*ed

load = +[u]*esc

end

NFE 文件 (cdra.nfe)，与 PDE 文件相配合，用于给出待求解的矩阵格式的线性方程组（对应于整体矩阵组装），以及对计算结果作进一步处理。

defi
stif s
load f

equation
matrix = [s]
forc = [f]

solution u
gidpost("u",1.0) u(1)

end

GCN 文件 (cdr.gcn)，用于定义求解器类型。同时与 NFE 文件相配合，一起组织计算流程。

defi
a ell

#startnin a
#solvnin a

MDI 文件 (cdr.mdi)，用于组织管理物理场信息。

1dx
#a 0 1 u
pde condiff l2g2
#

实际操作中，这里的 NFE 文件可以调用系统的库文件自动生成，因此用户只需填写 PDE、GCN 和 MDI 三个文件即可，统计下来，总行数不超过 20 行！

我们通过 FEtch 客户端提交脚本文件后，会自动生成并下载有限元程序文件（cdr.exe 和 run.bat）、材料参数文件（cdr.mat）和 GiD 软件的前处理模板文件（cdr.cnd 和 cdr.bas）。编程任务至此已经顺利完成。

前处理

前处理是通过第三方软件 GiD 来完成的。

我们首先进入 GiD 软件界面进行前处理。依次进行几何建模、施加边界条件、赋材料值和网格剖分，最终导出计算所需的数据输入文件（cdr.dat)。

施加的边界条件如下：

网格为 50 个均匀分布的 2 节点线单元。

计算结果

经过计算，生成了后处理文件（cdr.flavia.res）。将计算结果绘图，并与解析解对比，如下图所示。

可以看出，有限元解和理论解两者吻合得很好。至此，对流扩散反应方程的求解已顺利完成。

参考文献

[1] 王斌武, 宋小鹏, 吴国珊. 传输过程数值模拟可视化编程开发：基于HTML5技术[M]. 冶金工业出版社, 2018.