Cahn-Hilliard 方程

关键词：瞬态非线性相场 Cahn-Hilliard方程周期边界

Cahn-Hilliard 方程作为一类重要的 4 阶非线性扩散方程，是相场建模中的经典方程。它最初由 Cahn 和 Hilliard 在 1958 年研究热力学中两种物质之间相互扩散现象时提出，已广泛应用于描述生物种群的竞争和排斥、河床迁移过程、固体表面微粒扩散等物理现象。

本节以二维 Cahn-Hilliard 方程为例，介绍 FEtch 系统在求解相场问题中的应用。

控制方程

微分形式

对于域 $\Omega\subset\mathbb{R}^d\ (1\le d \le 3)$，Cahn-Hilliard 方程为 $\frac{\partial c}{\partial t}-\nabla \cdot M\left(\nabla\left(\frac{d f}{d c}-\lambda \nabla^{2} c\right)\right)=0 \quad \left(\text{in } \Omega\right) \tag{1}\label{eq1}$

边界条件为

\[M\left(\nabla\left(\frac{d f}{d c}-\lambda \nabla^{2} c\right)\right)=0 \quad \left(\text{on } \partial \Omega\right) \\ M \lambda \nabla c \cdot n=0 \quad \left(\text{on } \partial \Omega\right) \\\]

初始条件为 $c=c_0 \quad \left(\text{in } \Omega\right)$ 在这里待求变量 $c$ 为序参量(order parameter)。$M$ 和 $\lambda$ 为常数。$f$ 为系统自由能，是序参量 $c$ 的函数。

由于一般的有限元方法只考虑在单元内计算待求变量的一阶导数，上面的四阶微分方程在一般的有限元方法中是没法求解的。为解决这个问题，导入一个新变量，即化学势函数 $\mu=\frac{d f}{d c}-\lambda \nabla^{2} c$ 。这样，方程 (1) 可分解为以下两个二阶微分方程 $\frac{\partial c}{\partial t}-\nabla \cdot M \nabla \mu=0 \quad \left(\text{in } \Omega\right) \\ \mu-\frac{d f}{d c}+\lambda \nabla^{2} c=0 \quad \left(\text{in } \Omega\right) \tag{2}\label{eq2}$

弱形式

待求变量为 $c$ 和 $\mu$。根据变分原理，Cahn-Hilliard 方程的弱形式为：求解 $(c,\mu)\in V×V$ 满足

\[\int_{\Omega} \frac{\partial c}{\partial t} \delta c \mathrm{~d} \Omega+\int_{\Omega} M \nabla \mu \cdot \nabla \delta c \mathrm{~d} \Omega=0\ \ \ \forall \delta c \in V \\ \int_{\Omega} \mu \delta \mu \mathrm{~d} \Omega-\int_{\Omega} \frac{d f}{d c} \delta \mu \mathrm{~d} \Omega-\int_{\Omega} \lambda \nabla c \cdot \nabla \delta \mu \mathrm{~d} \Omega=0 \ \ \ \forall \delta \mu \in V \tag{3}\label{eq3}\]