泊松-玻尔兹曼方程

关键词：非线性 Poisson-Boltzmann方程泰勒展开

非线性泊松-玻尔兹曼方程（Poisson-Boltzmann Equation) 在物理学、生物学和化学等学科中有着广泛的应用。

这个模型最早在一个世纪以前由 Debye 和 Hückel 提出，并且进一步被 Kirkwood 所发展。在过去的二十多年里，对该模型的研究兴趣主要集中在数值计算方面。

数值求解非线性泊松-玻尔兹曼方程的困难主要来自方程的非线性指数项。这需要发展一些迭代技术，而不是直接采用标准的数值方法来离散。作为先导性研究，这里尝试将指数项先进行泰勒展开，再进行有限元离散求解。

下面分别针对正指数和负指数这两种不同情况的概念模型，使用 FEtch 系统求解两个简单的一维算例。

正指数项

含正指数项的非线性泊松方程 \(-\frac{d^2u}{d x^2} =\exp \left(u\right)\)

解析解为 \(u=\ln \left(\frac{1}{2} \text{sech}^2\left(\frac{x}{2}\right)\right)\)

取 [0,1] 的封闭区域，边值为

\[u(0)=-0.693147\\ u(1)=-0.933376\]

将指数项泰勒展开，得

\[\exp(u)=1+u+\frac{u^2}{2}+\frac{u^3}{6}+O\left(u^4\right)\]

采用有限元方法进行数值求解。取 2 节点线性单元，均匀网格剖分，单元长度为 dx=0.01。

计算结果

含负指数项的非线性泊松方程 \(-\frac{d^2u}{d x^2} =\exp \left(-u\right)\)

解析解为 \(u=\ln \left(2 \sinh ^2\left(\frac{x}{2}\right)\right)\)

取 [0.1,1] 的封闭区域，边值为

\[u(0.1)=-5.29748\\ u(1)=-0.610497\]

将指数项泰勒展开，得

\[\exp(-u)=1-u+\frac{u^2}{2}-\frac{u^3}{6}+\frac{u^4}{24}+O\left(u^5\right)\]

采用有限元方法进行数值求解。取 2 节点线性单元，均匀网格剖分，单元长度为 dx=0.01。

计算结果

如果直接针对指数型原函数进行有限元离散，迭代计算对初值会非常敏感，容易出现不收敛的情况。例如，对于含正指数项的算例，当迭代初值为 -50 时，就会求解失败。

如果采用级数展开的方法，则阶次越高计算结果越精确。正指数情况，3 阶展开精度已经基本满足需要。负指数情况，需要 4 阶以上的级数展开。级数展开方法对初值不敏感，收敛性更好。

因此，前期迭代可以考虑采用级数展开方法，计算得到初步的近似值后，继续采用指数型原函数进行迭代，直至计算收敛。